双向搜索
本页面将简要介绍两种双向搜索算法:「双向同时搜索」和「Meet in the middle」。
双向同时搜索
定义
双向同时搜索的基本思路是从状态图上的起点和终点同时开始进行 广搜 或 深搜。
如果发现搜索的两端相遇了,那么可以认为是获得了可行解。
过程
双向广搜的步骤:
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17 | 将开始结点和目标结点加入队列 q
标记开始结点为 1
标记目标结点为 2
while (队列 q 不为空)
{
从 q.front() 扩展出新的 s 个结点
如果 新扩展出的结点已经被其他数字标记过
那么 表示搜索的两端碰撞
那么 循环结束
如果 新的 s 个结点是从开始结点扩展来的
那么 将这个 s 个结点标记为 1 并且入队 q
如果 新的 s 个结点是从目标结点扩展来的
那么 将这个 s 个结点标记为 2 并且入队 q
}
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例题
例题 八数码难题
在
的棋盘上,摆有八个棋子,每个棋子上标有
至
的某一数字。棋盘中留有一个空格,空格用
来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是:给出一种初始布局(初始状态)和目标布局(为了使题目简单,设目标状态为
),找到一种最少步骤的移动方法,实现从初始布局到目标布局的转变。
解题思路
很好想出暴力 bfs。本题使用暴力 bfs 也不会超时。但是这里把它作为双向同时搜索的例题。我们可以使用两个 bfs,一个从起点状态开始正着搜,一个从终点状态开始反着搜,交替使用两个 bfs,搜索树的大小会大大减小。当其中一个 bfs 搜出另一个 bfs 已经搜出的状态,即可得到答案。
参考代码
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82 | #include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
using namespace std;
struct State {
int A[3][3];
State() = default;
State(string s) {
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
A[i][j] = s[i * 3 + j] - '0';
}
}
}
friend bool operator<(const State &a, const State &b) {
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
if (a.A[i][j] != b.A[i][j]) {
return a.A[i][j] < b.A[i][j];
}
}
}
return false;
}
};
int dir[4][2] = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
void bfs(queue<State> &q, map<State, int> &m1, map<State, int> &m2) {
auto u = q.front();
q.pop();
int xx, yy;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
if (u.A[i][j] == 0) {
xx = i;
yy = j;
}
}
}
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int tx = dir[i][0] + xx, ty = dir[i][1] + yy;
if (tx >= 0 && tx < 3 && ty >= 0 && ty < 3) {
auto v = u;
swap(v.A[xx][yy], v.A[tx][ty]);
if (m2.count(v)) {
cout << m1[u] + m2[v] << endl;
exit(0);
}
if (!m1.count(v)) {
m1[v] = m1[u] + 1;
q.push(v);
}
}
}
}
int main() {
string I, O;
cin >> I;
O = "123804765";
State in = I, ou = O;
queue<State> q1, q2;
map<State, int> mp1, mp2;
q1.push(in);
mp1[in] = 0;
q2.push(ou);
mp2[ou] = 1;
if (I == O) {
cout << 0;
return 0;
}
while (1) {
bfs(q1, mp1, mp2);
bfs(q2, mp2, mp1);
}
return 0;
}
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Meet in the middle
Warning
本节要介绍的不是 二分搜索(二分搜索的另外一个译名为「折半搜索」)。
引入
Meet in the middle 算法没有正式译名,常见的翻译为「折半搜索」、「双向搜索」或「中途相遇」。
它适用于输入数据较小,但还没小到能直接使用暴力搜索的情况。
过程
Meet in the middle 算法的主要思想是将整个搜索过程分成两半,分别搜索,最后将两半的结果合并。
性质
暴力搜索的复杂度往往是指数级的,而改用 meet in the middle 算法后复杂度的指数可以减半,即让复杂度从
降到
。
例题
例题 「USACO09NOV」灯 Lights
有
盏灯,每盏灯与若干盏灯相连,每盏灯上都有一个开关,如果按下一盏灯上的开关,这盏灯以及与之相连的所有灯的开关状态都会改变。一开始所有灯都是关着的,你需要将所有灯打开,求最小的按开关次数。
。
解题思路
如果这道题暴力 DFS 找开关灯的状态,时间复杂度就是
, 显然超时。不过,如果我们用 meet in middle 的话,时间复杂度可以优化至
。meet in middle 就是让我们先找一半的状态,也就是找出只使用编号为
到
的开关能够到达的状态,再找出只使用另一半开关能到达的状态。如果前半段和后半段开启的灯互补,将这两段合并起来就得到了一种将所有灯打开的方案。具体实现时,可以把前半段的状态以及达到每种状态的最少按开关次数存储在 map 里面,搜索后半段时,每搜出一种方案,就把它与互补的第一段方案合并来更新答案。
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55 | #include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
int n, m, ans = 0x7fffffff;
map<long long, int> f;
long long a[40];
int main() {
cin >> n >> m;
a[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i) a[i] = a[i - 1] * 2; // 进行预处理
for (int i = 1; i <= m; ++i) { // 对输入的边的情况进行处理
int u, v;
cin >> u >> v;
--u;
--v;
a[u] |= ((long long)1 << v);
a[v] |= ((long long)1 << u);
}
for (int i = 0; i < (1 << (n / 2)); ++i) { // 对前一半进行搜索
long long t = 0;
int cnt = 0;
for (int j = 0; j < n / 2; ++j) {
if ((i >> j) & 1) {
t ^= a[j];
++cnt;
}
}
if (!f.count(t))
f[t] = cnt;
else
f[t] = min(f[t], cnt);
}
for (int i = 0; i < (1 << (n - n / 2)); ++i) { // 对后一半进行搜索
long long t = 0;
int cnt = 0;
for (int j = 0; j < (n - n / 2); ++j) {
if ((i >> j) & 1) {
t ^= a[n / 2 + j];
++cnt;
}
}
if (f.count((((long long)1 << n) - 1) ^ t))
ans = min(ans, cnt + f[(((long long)1 << n) - 1) ^ t]);
}
cout << ans;
return 0;
}
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外部链接
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